8.6.3 Bevestigend en ontkrachtend bewijs

In de dagelijkse praktijk heeft het begrip ‘bewijs’ een iets andere betekenis dan die ik tot nu toe heb gehanteerd. Als in de fiscale rechtspraktijk bewijs wordt geleverd of om bewijs wordt gevraagd, dan wordt daarmee vaak alleen bevestigend bewijs bedoeld, dat wil zeggen bewijs om een ingenomen standpunt te onderbouwen.

Wanneer we de waarschijnlijkheid van de mogelijke uitkomsten van een onzeker fiscaal rechtsvindingsvraagstuk willen achterhalen, moet echter al het beschikbare bewijs in aanmerking worden genomen. Ik hanteer het begrip ‘bewijs’ daarom in een wat ruimere betekenis. Bewijs is alles wat een bepaalde stelling mogelijk bevestigt (bevestigend bewijs) of ontkracht (ontkrachtend bewijs) en daarmee van invloed kan zijn op de waarschijnlijkheid van een mogelijke uitkomst van een rechtsvindingsvraagstuk. Als ET de totale hoeveelheid beschikbaar bewijs is van een stelling A, kunnen we vaststellen in hoeverre het totale bewijs ET de stelling A bevestigt of ontkracht. Dat wil zeggen: als we de waarschijnlijkheden exact zouden kunnen berekenen. Maar we kunnen het uiteraard tot op zekere hoogte subjectief benaderen. Dat gebeurt in de praktijk ook wel. We kunnen dan ook vaststellen of het totale bewijs ET de stelling A daadwerkelijk bevestigt of ontkracht. Als de waarschijnlijkheid P(A | E_T) groter is dan 0,5 dan zouden we mogen aannemen dat E_T de stelling A bevestigt. In dat geval geldt ook dat de waarschijnlijkheid P(¬A | E_T) kleiner is dan 0,5:

In gelijke zin kunnen we stellen dat E_T de ontkenning ¬A van de stelling A bevestigt (en dus de stelling A ontkracht) indien

Het bewijs E_T bevestigt noch de stelling A noch de ontkenning ¬A van de stelling A indien

Het mag duidelijk zijn dat als P(A | ET) maar net boven 0,5 ligt, het bewijs ET per saldo een bevestiging vormt voor de stelling A, doch slechts minimaal. Naarmate P(A | ET) meer richting 1 gaat, vormt ET per saldo een sterkere bevestiging voor de stelling A. We spreken dan van een sterker bewijs.

Elk nieuw bewijs En kan vervolgens de waarschijnlijkheid P(A | ET) verhogen (het bewijs En vormt een nadere bevestiging van de stelling A), verlagen (het bewijs En vormt een nadere ontkrachting van de stelling A) of neutraal zijn. Hierbij geldt dat een nieuw bewijs En ook een onderbouwing van de stelling A kan zijn indien P(A | ET) inclusief het nieuwe bewijs En nog steeds lager is dan 0,5. Het nieuwe bewijs En vormt dan weliswaar een onderbouwing van de stelling A, maar vormt tezamen met het andere bewijs nog geen voldoende onderbouwing om de stelling A ook daadwerkelijk zodanig aannemelijk te maken dat de waarschijnlijkheid tenminste gelijk is aan 0,5.

Waar ik hierboven steeds ben uitgegaan van een stelling A en zijn ontkenning ¬A, kan het bovenstaande betoog ook worden uitgebreid naar onzekere rechtsvindingsvraagstukken met meer dan twee mogelijke uitkomsten. Bij twee mogelijke uitkomsten is het denkbaar dat ze exact dezelfde waarschijnlijkheid hebben, namelijk 0,5. Maar meer voor de hand liggend is dat één van de mogelijke uitkomsten een waarschijnlijkheid heeft die hoger is dan 0,5. Dit is dan de meest waarschijnlijke uitkomst van het rechtsvindingsvraagstuk. Als er daarentegen n mogelijke uitkomsten zijn, dan is het denkbaar dat deze allemaal dezelfde waarschijnlijkheid hebben, namelijk ¹/_n. Maar ook hier ligt het meer voor de hand dat één van de mogelijke uitkomsten de hoogste uitkomst heeft als gevolg van het voor die uitkomst beschikbare bewijs E_T. Bij meer dan twee uitkomsten is het echter niet mogelijk om aan te geven dat als de waarschijnlijkheid P(A) van een stelling A hoger is dan een bepaalde waarde, deze stelling A de meest waarschijnlijke is. Waar bij twee mogelijke uitkomsten de waarschijnlijkheidsverdeling altijd gelijk is, 0,5, dan wel één van de uitkomsten een waarschijnlijkheid heeft hoger dan 0,5, is de waarschijnlijkheidsverdeling bij meer dan twee mogelijke uitkomsten een stuk complexer. Zo is bij drie mogelijke uitkomsten de volgende waarschijnlijkheidsverdeling mogelijk: P(A₁) = 0,33, P(A₂) = 0,33 en P(A3) = 0,34. A₃ is dan de meest waarschijnlijke uitkomst. De volgende waarschijnlijkheidsverdeling is echter ook mogelijk: P(A₁) = 0,01, P(A₂) = 0,01 en P(A₃) = 0,98. Ook in dit geval is A₃ de meest waarschijnlijke uitkomst, maar wel met een veel hogere waarschijnlijkheid P(A₃). Het mag duidelijk zijn dat bij beide waarschijnlijkheidsverdelingen voor de uitkomst A₃ ten opzichte van de andere uitkomsten meer bevestigend bewijs dan wel minder ontkrachtend bewijs beschikbaar is. Bij de tweede waarschijnlijkheidsverdeling ligt de verdeling van het bevestigende en ontkrachtende bewijs echter aanzienlijk meer in het voordeel van A₃. Een ‘succesdrempel’ zoals 0,5 bij twee mogelijke uitkomsten is echter niet aan te geven. Een waarschijnlijkheid van ¹/_n bij n mogelijke uitkomsten kan geen succesdrempel zijn, zoals blijkt uit de volgende mogelijke waarschijnlijkheidsverdeling bij drie mogelijke uitkomsten: P(A₁) = 0,02, P(A₂) = 0,48 en P(A₃) = 0,50. In dit geval hebben twee van de drie mogelijke uitkomsten namelijk een waarschijnlijkheid die hoger is dan ¹/₃.