8.2 Bewijs in de wiskunde

Voordat ik nader inga op bewijs in fiscaalrechtelijke aangelegenheden, wil ik eerst stilstaan bij bewijs in de wiskunde. Zoals bekend speelt bewijs een belangrijke rol in de wiskunde.1 In de wiskunde wordt er in het algemeen van uitgegaan dat een bewijs deductief is. Een bewijs bestaat uit een ketting van deductieve redeneringen, waarbij elke redenering bestaat uit een aantal premissen en een conclusie.2 De conclusie van zo’n redenering fungeert vervolgens als premisse in de vervolgstap. De laatste conclusie in deze ketting van redeneringen is ten slotte de stelling die moet worden bewezen.

Een interessante bespiegeling over bewijs in de wiskunde, mede in relatie tot waarheid, is te vinden bij Byers.3 Wiskunde gaat over waarheid (truth), het vinden van de waarheid, het kennen van de waarheid en het delen van de waarheid met anderen. Waarheid is de essentie van de wiskunde. En hier gaat het volgens Byers al direct mis:

Byers wijst erop dat de waarheid in de wiskunde, en de zekerheid die ontstaat wanneer de waarheid manifest wordt, geen gescheiden fenomenen zijn. Ze zijn juist onlosmakelijk met elkaar verbonden. Eén van de manieren om zekerheid te bereiken in de wiskunde, is via bewijs. Maar maakt het bewijs van een bepaalde stelling die stelling ook absoluut waar? Deze vraag wordt niet noodzakelijkwijs bevestigend beantwoord. Een modern antwoord op deze vraag is, aldus Byers, dat de waarheid relatief is. Neem bijvoorbeeld de stelling dat de som van de driehoeken gelijk is aan 180°. Deze stelling is waar in de Euclidische meetkunde. In een niet-Euclidische meetkunde (de gekromde ruimte) kan de som van de hoeken echter groter of kleiner zijn dan 180°. We zouden dan kunnen stellen dat er helemaal geen waarheid bestaat, enkel formeel-logische afleidingen.

Maar Byers wijst er ook op dat wiskundigen niet het gevoel hebben dat zij slechts logische spelletjes spelen, maar dat zij wel degelijk met de werkelijkheid te maken hebben. En zeggen dat iets de werkelijkheid is, is net zoiets als zeggen dat iets waar is. Er is dus wel degelijk waarheid in de wiskunde. Die waarheid is echter niet het gevolg van een eventueel bewijs:

De verificatie van het bewijs van een bepaalde wiskundige stelling is een mechanische aangelegenheid waar geen nader begrip van de betreffende stelling voor nodig is. De betreffende stelling komt veelal echter al op voordat de wiskundige het bewijs heeft opgesteld. Het bewijs komt later pas aan de orde.6 De zekerheid die wiskundigen voelen wanneer zij zich bewust worden van een wiskundig idee komt gelijk met dat idee. Daar is geen bewijs voor nodig. Het bewijs is wel nodig om die zekerheid te objectiveren en te communiceren met andere wiskundigen.

Byers ziet ook een subtiele relatie tussen wiskundige ideeën en bewijs. Het is namelijk niet mogelijk om een bewijs op te stellen als je geen idee hebt waarom een bepaalde wiskundige stelling waar is. Hetzelfde geldt naar mijn idee in het belastingrecht. Als een rechtsvinder na wat overpeinzingen in de heuristische fase van het rechtsvindingsproces tot een mogelijk rechtsgevolg komt, zal het erg lastig zijn om dat rechtsgevolg te bewijzen als hij niet begrijpt waarom het rechtsgevolg waar is.