6.9.3 Inductieve waarschijnlijkheid

In plaats van epistemische waarschijnlijkheid kunnen we overigens ook spreken over inductieve waarschijnlijkheid. Om duidelijk te maken wat ik hiermee bedoel, zal ik een vergelijking maken met de fysieke waarschijnlijkheid. De epistemische waarschijnlijkheid heeft met de fysieke waarschijnlijkheid gemeen dat beide objectieve waarschijnlijkheden zijn. Anders dan fysieke waarschijnlijkheden, zijn epistemische waarschijnlijkheden echter niet zonder meer fysieke kenmerken van de ons omringende fysieke wereld.

De uitkomst ‘één’ bij het werpen van een zuivere dobbelsteen heeft een fysieke waarschijnlijkheid van 1/6. Deze waarschijnlijkheid geeft een fysieke realiteit weer. Epistemische waarschijnlijkheden doen echter niet per definitie uitspraken over de waarschijnlijkheid van stellingen in de fysieke realiteit, maar over de waarschijnlijkheid van stellingen in relatie tot het ondersteunend bewijs. Dat ondersteunend bewijs kan overigens wel zijn oorsprong vinden in de fysieke wereld.

Als iemand de stelling inneemt dat de kans op de uitkomst ‘één’ bij het werpen van een dobbelsteen 1/6 is, gegeven de door hem aangevoerde stelling dat de dobbelsteen van een betrouwbare fabrikant afkomstig is en er verder goed uitziet, dan is dat een epistemische waarschijnlijkheid. Een epistemische waarschijnlijkheid is tenslotte afhankelijk van het aangevoerde bewijs, in dit geval de betrouwbare fabrikant en de visuele inspectie, en niet van de fysieke realiteit. (De fysieke waarschijnlijkheid is gelijk aan 1/6 bij het werpen van een zuivere dobbelsteen. In dit voorbeeld is echter niet zonder meer sprake van een zuivere dobbelsteen, maar een dobbelsteen van een betrouwbare fabrikant die er verder goed uitziet. De epistemische waarschijnlijkheid is daarbij niet per definitie gelijk aan de fysieke waarschijnlijkheid.)

Daarnaast geldt dat hoe meer bevestigend bewijs wordt aangevoerd, hoe hoger de epistemische waarschijnlijkheid. Ontkrachtend bewijs verlaagt de epistemische waarschijnlijkheid echter. Dit maakt epistemische bewijs inductief. Het bewijs vormt een bevestigende of ontkrachtende onderbouwing voor een bepaalde stelling, maar die stelling is daarmee niet definitief bevestigd (absoluut waar) of ontkracht (absoluut onwaar). Het is meer dat het bewijs de waarschijnlijkheid van een stelling hoger of lager maakt. De redenering is dan: als bewijs E = {e₁, e₂, …, e_n} waar is, dan is de stelling H die door dat bewijs wordt onderbouwd tot op zekere mate waarschijnlijk: P(H | E) = p.

Maar als de epistemische waarschijnlijkheid niet zonder meer aansluit bij de fysieke realiteit, dus niet gedragen wordt door de natuurwetten, hoe kan deze dan objectief zijn? Waarom leidt de analyse van rationeel redenerende personen tot een objectieve analyse?

Mellor wijst erop dat de epistemische waarschijnlijkheid vanuit een logisch perspectief als objectief moet worden aangemerkt.1 We moeten dan wel een beroep doen op inductieve logica.2 Dat brengt ons bij het verschil tussen deductieve logica en inductieve logica. Bij deductieve logica volgt een conclusie automatisch uit de premissen indien de juiste redeneermethode is aangehouden. Stel bijvoorbeeld dat we een stelling ‘als A dan B’ (A → B) hebben. Dan kunnen we aan de hand van de logische modus ponens-regel B afleiden als A een gegeven is.

Uit A → B en A volgt altijd B. De voorafgaande premissen A → B en A leiden namelijk logisch noodzakelijk tot de conclusie B. Een ontkenning van de conclusie zou tot een ontkenning van de voorafgaande premissen leiden.

In de praktijk komt het regelmatig voor dat een conclusie niet ondubbelzinnig uit de voorafgaande premissen kan worden afgeleid. In plaats daarvan zijn er veel situaties waarbij een bepaalde stelling niet ondubbelzinnig uit de voorgaande premissen volgt, maar die premissen de stelling wel aannemelijk maken.

De premisse dat sinds mensenheugenis de zon ’s morgens opkomt en ’s avonds weer ondergaat, maakt het aannemelijk dat dat morgen en overmorgen ook het geval zal zijn. Dat is echter geen logische noodzaak. Dat we sinds het begin van de geschiedschrijving hebben waargenomen dat de zon zijn rondje langs de hemel maakt, is namelijk geen garantie dat dat in de toekomst ook zo zal zijn. Maar ondanks dat het geen logische noodzaak is, zal er vrijwel niemand aan twijfelen dat uit de premisse kan worden afgeleid dat de zon morgenochtend opkomt en morgenavond weer ondergaat.3 Ook hier wordt een stelling afgeleid uit een voorgaande premisse (namelijk dat tot nu toe is waargenomen dat de zon elke dag opkomt en weer ondergaat). Dit is echter geen deductieve afleiding, maar een inductieve afleiding. Het is in dit geval niet zo dat de voorafgaande premisse logisch noodzakelijk tot de hypothese leidt dat de zon morgen ook weer opkomt en ondergaat, en dat het ontkennen van die hypothese een ontkenning van de voorafgaande premisse inhoudt. De premisse is dan geen absoluut bewijs voor de conclusie, maar toch op z’n minst enig bewijs. Met andere woorden: de conclusie ligt niet besloten in de premisse, maar de premisse kan wel worden aangehaald ter onderbouwing van de hypothese.

Bij een deductieve afleiding zal iemand die de premissen als waar aanmerkt, de conclusie ook als waar aan moeten merken. Bij een inductieve afleiding zal iemand die de (onderbouwende) premissen als waar aanmerkt, de conclusie als aannemelijk aan moeten merken. De conclusie heeft dan een epistemische waarschijnlijkheid. In zoverre is de epistemische waarschijnlijkheid objectief.

Het is dus niet zo dat de voorafgaande premissen een hypothese impliceren (logisch noodzakelijk maken), doch dat deze voorafgaande premissen de hypothese tot op zekere hoogte conformeren en daarmee een epistemische waarschijnlijkheid verbinden aan de hypothese. Deze confirmatie is objectief en niet weerlegbaar. Daarmee is echter nog niets gezegd over de waardering van de epistemische waarschijnlijkheid. Kan de epistemische waarschijnlijkheid ook kwantitatief worden vastgesteld? Deze vraag probeer ik hieronder te beantwoorden.