Waarschijnlijkheid van fiscale rechtsgevolgen (FM nr. 145) 2016/6.6.2:6.6.2 Principle of indifference

Waarschijnlijkheid van fiscale rechtsgevolgen (FM nr. 145) 2016/6.6.2

6.6.2 Principle of indifference

Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.

Het aanknopingspunt voor de gelijke verdeling van de waarschijnlijkheid over de mogelijke uitkomsten, is het ‘principle of indifference’. Dit beginsel houdt in dat indien we geen reden hebben om de waarschijnlijkheid van de ene uitkomst hoger in te schatten dan de waarschijnlijkheid van de andere uitkomst(en), de uitkomsten allemaal dezelfde waarschijnlijkheid hebben. Keynes was de eerste die (in 1920) de term ‘principle of indifference’ gebruikte:1

‘The Principle of Indifference asserts that if there is no known reason for predicating of our subject one rather than another of several alternatives, then relatively to such knowledge the assertions of each of these alternatives have an equal probability. Thus equal probabilities must be assigned to each of several arguments, if there is an absence of positive ground for assigning unequal ones.’2

Denk wederom aan het werpen van een dobbelsteen. Er zijn zes mogelijke uitkomsten, waarbij we er aanvankelijk van uitgaan dat deze allemaal dezelfde waarschijnlijkheid hebben. Deze waarschijnlijkheid staat in verhouding tot het aantal mogelijke uitkomsten. In dit geval is de kans van elk van de mogelijke uitkomsten 1/6. Keynes heeft ook aangeven wanneer het principle of indifference van toepassing is:

‘There must be no relevant evidence relating to one alternative, unless there is corresponding evidence relating to the other; our relevant evidence, that is to say, must be symmetrical with regard to the alternatives, and must be applicable to each in the same manner. This is the rule at which the Principle of Indifference somewhat obscurely aims. We must first determine what parts of our evidence are relevant on the whole by a series of judgments of the relevance (…). If this relevant evidence is ofthe same form for both alternatives, then the Principle authorises a judgment of indifference.’3

In de literatuur is nogal wat kritiek geleverd op het principle of indifference.4 Om te beginnen door Keynes zelf, die ten aanzien van het principle of indifference het volgende opmerkt:

‘This rule, as it stands, may lead to paradoxical and even contradictory conclusions.’5

Salmon formuleert drie bezwaren tegen het principle of indifference. In de eerste plaats veronderstelt dat beginsel dat elk geval kan worden geanalyseerd alsof alle mogelijke uitkomsten een gelijke waarschijnlijkheid hebben:

‘First, it defines “probability” in terms of equally probable alternatives, so it presupposes a priori that every instance of probability can be analyzed in terms of equally probable cases.’6

Het mag duidelijk zijn dat dat in de praktijk lang niet altijd het geval is. Denk bijvoorbeeld aan het werpen van een onzuivere dobbelsteen. Daarbij bestaat de kans dat elk van de mogelijke uitkomsten ongelijk is aan 1/6. (Daarom zijn casino’s ook beducht op verzwaarde dobbelstenen.) Maar ook een fiscalist die in een specifiek rechtsvindingsvraagstuk geconfronteerd wordt met meerdere mogelijke uitkomsten, zal in de praktijk vaak wel aanvoelen dat de ene uitkomst kansrijker is dan de andere. Als een adviseur van mening is dat hij een niet al te sterk maar nog wel pleitbaar standpunt heeft, maar zich tegelijkertijd realiseert dat de inspecteur wel sterkere argumenten heeft voor het tegenovergestelde standpunt, dan vertelt hij zijn cliënt niet dat deze op basis van het principle of indifference desondanks een succeskans heeft van 50%.

Het tweede bezwaar van Salmon is dat het principle of indifference onwetendheid over de waarschijnlijkheid van de mogelijke uitkomsten transformeert naar kennis:

‘Another objection rejects any rule that pretends to transform ignorance automatically into knowledge. Knowledge of probabilities is concrete knowledge about occurrences; otherwise, it is useless for prediction and action. According to the principle of indifference, this kind of knowledge can result immediately from our ignorance of reasons to regard one occurrence as more probably than another. This is epistemological magic.’7

Als we op basis van het principle of indifference stellen dat de waarschijnlijkheid van de mogelijke uitkomsten van het werpen van een dobbelsteen voor elk van die uitkomsten 1/6 is, lijkt dat te impliceren dat we kennis hebben van de waarschijnlijkheid van de mogelijke uitkomsten. Die kennis hebben we echter niet. (De dobbelsteen kan tenslotte zonder dat we het weten verzwaard zijn.) Tegen dit bezwaar zijn overigens ook weer tegenargumenten ingebracht, zoals door Hájek kort uit de doeken is gedaan:

‘Critics accuse the principle of indifference of extracting information from ignorance. Proponents reply that it rather codifies the way in which such ignorance should be epistemically managed – for anything other than an equal assignment of probabilities would represent the possession of some knowledge. Critics counter-reply that in a state of complete ignorance, it is better to assign vague probabilities (perhaps vague over the entire [0, 1] interval), or to eschew the assignment of probabilities altogether.’8

Een relevante vraag in dit kader is wat we weten van de waarschijnlijkheidsverdeling van de uitkomsten van een onzeker rechtsvindingsvraagstuk als we het principle of indifference zouden toepassen. Weten we dan dat alle uitkomsten van dat rechtsvindingsvraagstuk dezelfde waarschijnlijkheid hebben, of geven we daarmee enkel aan dat we het juist niet weten en bij gebrek aan nadere informatie over de waarschijnlijkheidsverdeling er gemakshalve maar van uitgaan dat alle uitkomsten dezelfde waarschijnlijkheid hebben? Iemand die een dergelijke waarschijnlijkheidsverdeling zonder aanvullende toelichting onder ogen krijgt, kan niet zien of de kansen van de mogelijke uitkomsten echt aan elkaar gelijk zijn, dan wel het principle of indifference is toegepast. Door bij gebrek aan kennis over de waarschijnlijkheid van de mogelijke uitkomsten deze waarschijnlijkheid ongekwantificeerd in het bereik [0, 1] te plaatsen, wordt wel de informatie overgebracht dat we het niet weten. Het is echter erg lastig om daar dan mee verder te rekenen. Maar wat heeft rekenen met waarschijnlijkheid voor een zin als we die waarschijnlijkheid niet kennen?

Het laatste en belangrijkste bezwaar van Salmon is dat het principle of indifference tot logisch tegenstrijdige uitkomsten leidt:

‘The decisive objection against the principle shows that it gives rise to explicit logical contradictions.’9

Dit laatste bezwaar kan het beste aanschouwelijk worden gemaakt aan de hand van een voorbeeld.

Voorbeeld

Een fabrikant produceert dobbelstenen in verschillende maten, van heel klein tot dobbelstenen met ribben van 20 centimeter (en dus met een zijdeoppervlak tot 400 cm2). Stel we pakken een willekeurige dobbelsteen.

Wat is dat kans dat de ribbe daarvan tussen de 0 en 10 cm is? Op basis van het principle of indifference is die kans 1/2.We gaan er dan namelijk van uit dat de waarschijnlijkheid gelijk verdeeld is over ribben tussen 0 en 10 cm en ribben tussen 10 en 20 cm.

Wat is de kans dat het oppervlak van een zijde van de dobbelsteen tussen de 0 en 100 cm2 ligt? Op basis van het principle of indifference is die kans 1/4. We gaan er dan namelijk van uit dat de waarschijnlijkheid gelijk verdeeld is over oppervlakken van 0 tot 100 cm2, 100 tot 200 cm2, 200 tot 300 cm2 en oppervlakken van 300 tot 400 cm2.

Het is niet moeilijk in te zien dat een ribbe tussen 0 en 10 cm overeenkomt met een oppervlak tussen 0 en 100 cm2. Toch kwamen we bij de ribben op een kans van 1/2 en bij de oppervlakken op een kans van 1/4. Het principle of indifference leidt hier dus tot tegenstrijdige uitkomsten.10

Hoe zit het met de waarschijnlijkheidsverdeling in een specifiek rechtsvindingsvraagstuk? Zonder enige vorm van bewijs lijkt het principle of indifference het enige aanknopingspunt voor de waarschijnlijkheidsverdeling. Ik denk echter dat elke fiscalist intuïtief wel aanvoelt dat met het principle of indifference alleen geen betrouwbare analyse kanworden gemaakt van dewaarschijnlijkheid van de mogelijke uitkomsten van een specifiek rechtsvindingsvraagstuk. Vaak is er namelijk wel een mogelijke uitkomst die waarschijnlijker lijkt dan de andere mogelijke uitkomst(en).

Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.