6.6.3 Asymmetrische verdeling van waarschijnlijkheid

De totale waarschijnlijkheid van alle mogelijke uitkomsten is altijd gelijk aan 1 (P(Ω) = 1). Dit is één van de axioma’s van de waarschijnlijkheidsleer. Als we het hierboven besproken principle of indifference toepassen, dan hebben alle mogelijke uitkomsten een gelijke waarschijnlijkheid. De rechtvaardiging voor de toepassing van het principle of indifference lag in de afwezigheid van een reden om tot een andere waarschijnlijkheidsverdeling over te gaan. In de praktijk is een dergelijke reden er vaak wel. We hebben het dan over redenen om de waarschijnlijkheid van één of meerdere van de mogelijke uitkomsten hoger of juist lager te waarderen. Deze redenen kunnen we aanmerken als bewijs. Bewijs is in dit geval dus alles wat kan worden aangehaald om een mogelijke uitkomst te bevestigen of te ontkrachten en daarmee de waarschijnlijkheid van die uitkomst naar boven of naar beneden toe bij te stellen.

Is er bewijs (E) voor de uitkomsten, maar is dat bewijs gelijkelijk (symmetrisch) over alle mogelijke uitkomsten verdeeld, dus zonder de ene uitkomst hoger te waarderen dan de andere mogelijke uitkomsten (symmetricallybalanced evidence), dan hebben alle uitkomsten eveneens allemaal dezelfde waarschijnlijkheid. Stel bijvoorbeeld dat we de uitkomsten A₁, A₂, …A_n hebben van een bepaald experiment. Bij een symmetrisch verdeeld bewijs E geldt dan:

Een symmetrische waarschijnlijkheidsverdeling is zeer wel voorstelbaar bij kansexperimenten met zuivere dobbelstenen. Een symmetrische waarschijnlijkheidsverdeling zal zich overigens vooral voordoen in een ideaalsituatie zoals het werpen van een zuivere dobbelsteen in een overigens gecontroleerde omgeving. Maar in de meeste gevallen lijkt een symmetrische waarschijnlijkheidsverdeling op gespannen voet te staan met de realiteit. In de praktijk kunnen allerlei factoren er namelijk voor zorgen dat de waarschijnlijkheid van de uitkomsten niet symmetrisch is verdeeld (asymmetrische waarschijnlijkheidsverdeling). Dat is ook het geval bij onzekere fiscale rechtsvindingsvraagstukken, waarbij bewijs een belangrijke rol speelt bij de waardering van de mogelijke uitkomsten.

Laplace heeft ook ingezien dat de waarschijnlijkheid helemaal niet symmetrisch over de mogelijke uitkomsten hoeft te zijn verdeeld. Hij heeft dit uiteindelijk ook ingebouwd in de door hem geformuleerde algemene beginselen van de waarschijnlijkheidsleer. In het eerste beginsel refereert Laplace eerst nog aan de gelijkelijke verdeling van de waarschijnlijkheid over de mogelijke uitkomsten:

Vervolgens constateert Laplace in zijn tweede beginsel dat de waarschijnlijkheid helemaal niet gelijkelijk over de mogelijke uitkomsten hoeft te zijn verdeeld:

In zijn zevende beginsel (ik sla er een aantal over) geeft Laplace ten slotte een methode om de waarschijnlijkheid bij de stellen aan de hand van eerdere waarnemingen (bewijs):

Met het zevende beginsel formuleert Laplace een opvolgingsregel (rule ofsuccession).4 Hiermee is het mogelijk om de waarschijnlijkheid van de verschillende uitkomsten inductief bij te stellen en daarmee dus een correctie aan te brengen op de gelijke verdeling van de waarschijnlijkheid conform het principle of indifference. De rule of succession is een puur mathematische regel gebaseerd op herhaling. Als een kansexperiment n maal wordt herhaald, waarbij s maal een bepaalde uitkomst A wordt gekregen (bijvoorbeeld ‘zes’ werpen met een dobbelsteen), dan kan met de opvolgingsregel worden berekend wat de kans is dat bij het volgende experiment de uitkomst weer A is (weer een ‘zes’). Hiermee kunnen we een betrouwbaardere analyse maken van de waarschijnlijkheid van (bijvoorbeeld) ‘zes’ bij het werpen van een dobbelsteen, dan enkel op basis van het principle of indifference.

Het lijkt erop dat in het bovenstaande voorbeeld sprake is van een niet geheel zuivere dobbelsteen. Dat de kans op het werpen van een ‘zes’ hoger is dan ¹/₆, komt doordat er bij de niet geheel zuivere dobbelsteen in dit geval blijkbaar meer mogelijkheden zijn om een ‘zes’ te werpen (zo blijkt althans uit de eerste 100 worpen). Om toch tot een symmetrische waarschijnlijkheidsverdeling te komen, wordt hier in feite een mathematische truc toegepast. De meer waarschijnlijke uitkomst ‘zes’ krijgt namelijk simpelweg meer mogelijke uitkomsten in de uitkomstenruimte. In bovenstaand voorbeeld bestaat de uitkomstenruimte bijvoorbeeld uit 100 elementen, waarvan 20 elementen ‘zes’ zijn. Een dergelijke benadering van de waarschijnlijkheid heeft natuurlijk alleen zin als het mogelijk is om het kansexperiment te herhalen en de waarschijnlijkheid te verfijnen (door de uitkomstenruimte uit te breiden). En dan nog blijft het een benadering. Ik denk dat het duidelijk is dat een dergelijke benadering van de waarschijnlijkheid van de mogelijke uitkomsten van een fiscaal rechtsvindingsvraagstuk niet mogelijk is. Een iteratie van het rechtsvindingsproces om de (herhaling van de) mogelijke uitkomsten te tellen, is immers niet mogelijk. De ‘rule of succession’ gaat ons dus niet helpen.