Waarschijnlijkheid van fiscale rechtsgevolgen (FM nr. 145) 2016/5.6.2:5.6.2 Propositielogica

Waarschijnlijkheid van fiscale rechtsgevolgen (FM nr. 145) 2016/5.6.2

5.6.2 Propositielogica

Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.

Hierboven heb ik logica gedefinieerd als de leer van het correct redeneren. Het heeft zich in de loop der tijd echter ontwikkeld tot een kunstmatige symbooltaal. Logica kent eigen symbolen en een eigen grammatica. Het voordeel van logica ten opzichte van de natuurlijke taal is dat logica een absolute nauwkeurigheid kent. Daar staat tegenover dat logica rigide is terwijl natuurlijke taal veel flexibeler is. Logica is dan ook zeer geschikt om wiskundige stellingen in uit te drukken terwijl natuurlijke taal zich beter leent om menselijke gevoelens in uit te drukken.

Om een indruk te geven hoe de logica ‘eruitziet’, geef ik hieronder een korte uitwerking van de symbolen en grammatica van de propositielogica.1

Proposities zijn uitspraken of beweringen die waar of onwaar kunnen zijn. Deze proposities kunnen worden weergegeven met een kleine letter:

p, q, r, …

De propositieletter q staat bijvoorbeeld voor de propositie ‘Socrates is een mens’. Vervolgens kennen we ook connectieven, om te beginnen het eenplaatsige connectief ‘¬’. Dit connectief ontkent de propositie:

¬

negatie

¬p

niet-p

Daarnaast kennen we tweeplaatsige connectieven die een relatie leggen tussen de proposities:

˄

conjunctie

p ˄ q

p en q

˅

disjunctie

p ˅ q

p of q

→

implicatie

p → q

als p, dan q

↔

equivalentie

p ↔q

p dan en slechts dan als q

We kunnen de propositieletters en connectieven vervolgens combineren tot volzinnen. Deze volzinnen worden in de propositielogica ook wel formules genoemd. Deze formules worden aangeduid met Griekse letters:

φ, χ, ψ, …

Niet alle combinaties van proposities en connectieven kunnen een formule vormen. De regels voor het vormen van correcte formules (ook wel ‘welgevormde formules’ genoemd) zijn als volgt:

•

Elke propositieletter (p, q, r, …) is een formule.

•

Als φ een formule is, dan is ¬φ ook een formule.

•

Als φ en ψ formules zijn, dan zijn (φ ˄ ψ), (φ ˅ ψ), (φ → ψ) en (φ ↔ ψ) ook formules.

Om vervolgens na de kunnen gaan of sprake is van een geldige redenering, kan gebruik worden gemaakt van waarheidstafels. De analyse van een redenering kan erg ingewikkeld worden. In de kern zijn de waarheidstafels echter erg simpel. Hieronder volgen enkele waarheidstafels waarbij ‘1’ staat voor waar en ‘0’ staat voor onwaar. Wat de waarheidstafels laten zien, is of een formule die bestaat uit twee proposities die zijn verbonden met een connectief waar of onwaar is als elk van de twee proposities waar of onwaar is.

φ

ψ

φ ˄ ψ

φ ˅ ψ

φ → ψ

φ ↔ ψ

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

Wat we hier bijvoorbeeld zien, is dat de formule φ ˄ ψ (dat wil zeggen: φ en ψ) alleen waar is als zowel φ als ψ waar zijn. De formule φ ˄ ψ heeft dan de waarde 1 indien zowel φ als ψ de waarde 1 hebben. Ik merk nogmaals op wat ik al eerder heb opgemerkt: de logica zegt niets over de waarheid van de premissen, zoals hierboven de proposities φ en ψ. De logica kan ook niet helpen bij het toekennen van een waarheidswaarde (waar of onwaar) aan een premisse. De logica vertelt ons wel of bijvoorbeeld een propositie geldig is afgeleid. Als we bijvoorbeeld aannemen dat φ en ψ waar zijn, dan is de afleiding van φ ˄ ψ geldig. Wanneer φ of ψ of beiden onwaar zijn, dan kan φ ˄ ψ niet geldig worden afgeleid.

Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.