Waarschijnlijkheid van fiscale rechtsgevolgen (FM nr. 145) 2016/6.7.1:6.7.1 Herhaald kansexperiment

Waarschijnlijkheid van fiscale rechtsgevolgen (FM nr. 145) 2016/6.7.1

6.7.1 Herhaald kansexperiment

Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.

Anders dan de klassieke interpretatie, gaat de frequentistische interpretatie niet uit van a priori uitkomsten en waarschijnlijkheden. Een frequentistische benadering van waarschijnlijkheid is in feite niets meer dan een empirisch onderzoek naar de mogelijke uitkomsten van een kansexperiment en de waarschijnlijkheid van die uitkomsten. Het uitgangspunt van de frequentistische interpretatie is dat de waarschijnlijkheid van een bepaalde uitkomst gelijk is aan de relatieve frequentie naarmate een bepaald experiment een groot aantal malen wordt herhaald. De kans dat bij het werpen van een dobbelsteen de uitkomst ‘zes’ is, kan bijvoorbeeld worden benaderd door de dobbelsteen een groot aantal malen te werpen en de uitkomsten bij te houden.

Voorbeeld

Stel dat we 1.000 maal met een zuivere dobbelsteen werpen (n = 1.000) en we vinden dat de dobbelsteen 166 maal op ‘zes’ landt (s = 166). De kans op ‘zes’ kunnen we dan als volgt berekenen:1

P(zes) = s/n = 166/1.000

Naarmate het aantal worpen toeneemt, zal de kans op uitkomst ‘zes’ bij een zuivere dobbelsteen naar 1/6 tenderen. In theorie wordt de waarschijnlijkheid exact gemeten indien het experiment oneindig wordt herhaald. In het geval van het werpen van een zuivere dobbelsteen is de kans van 1/6 de limiet van de uitkomst ‘zes’ in een oneindig aantal worpen. Dit is een interessant gedachte-experiment, maar praktisch niet haalbaar. Uiteraard is het niet mogelijk om een experiment tot in de oneindigheid te blijven herhalen. We zullen dus genoegen moeten nemen met een eindig aantal uitkomsten. In de praktijk bevat de uitkomst van een eindig aantal experimenten om de waarschijnlijkheid te benaderen dus een zekere mate van grofkorreligheid. Als het aantal experimenten gelijk is aan n, dan is de nauwkeurigheid waarmee de waarschijnlijkheid wordt gemeten gelijk aan 1/n.

Het verschil met de hierboven besproken klassieke interpretatie, is dat bij een frequentistische benadering van de waarschijnlijkheid de kansen niet symmetrisch hoeven te zijn verdeeld over de mogelijke uitkomsten. We hebben de opvolgingsregel dan ook niet nodig. Bovendien is er geen a priori waarschijnlijkheid (denk aan het principle of indifference); de waarschijnlijkheid komt pas bovendrijven na een aantal experimenten. Met andere woorden: we komen meer te weten over een bepaalde kans naarmate we het kansexperiment vaker herhalen.

We kunnen hierbij een beroep doen op de ‘wet van de grote getallen’. Stel datwe het experiment (het werpen van de zuivere dobbelsteen) een groot aantal malen herhalen en elke keer de uitkomst noteren. Naarmate we het experiment herhalen, zullen we zien dat de aldus benaderde kans van elk van de mogelijke uitkomsten inderdaad richting 1/6 gaat. Stel dat we het experiment n maal herhalen. De kans dat de uitkomst ‘zes’ is, benaderen we dan als de verhouding tussen het aantal malen dat de uitkomst ‘zes’ is (n6) en n, ofwel n6/n. Als we het experiment een oneindig maal zouden herhalen, krijgen we:

id-7dd4a0d7-b5e6-4b4c-ae7b-bc9c709b8161

Bij de frequentistische interpretatie van de waarschijnlijkheidsleer is het mogelijk om tot een asymmetrische waarschijnlijkheidsverdeling te komen. Na een groot aantal herhalingen van het kansexperiment kan het namelijk zo zijn dat bepaalde uitkomsten een hogere waarschijnlijkheid hebben dan andere uitkomsten. De frequentistische interpretatie is wat dat betreft dus uitermate geschikt om de mate van onzuiverheid van een dobbelsteen vast te stellen. Een ander voorbeeld is het aantal zonuren per dag. Dit is asymmetrisch verdeeld over de dagen van het jaar. Door over een groot aantal jaren elke dag van het jaar het aantal zonuren te meten en dit elke dag vast te leggen, is het mogelijk om bij benadering vast te stellen wat de kans is dat we bijvoorbeeld op 15 april acht uren zon krijgen.

Zoals gezegd doen we bij de frequentistische interpretatie een beroep op de wet van de grote getallen. Hoe groter het aantal herhalingen van het experiment, hoe nauwkeuriger de waarschijnlijkheid van de mogelijke uitkomsten. Gillies spreekt (onder verwijzing naar Keynes) wat dat betreft overigens over de Law of Stability of Statistical Frequencies. Hij citeert eerst een passage van Von Mises:

‘It is essential for the theory of probability that experience has shown that in the game of dice, as in all other mass phenomena which we have mentioned, the relative frequency of certain attributes become more and more stable as the number of observations is increased.’2

Om vervolgens de terminologie van Keynes aan te halen:

‘Von Mises refers to this increasing stability of statistical frequencies as: “the ‘primary phenomenon’ (Urphänomen) of the theory of probability.” (…) I will call it the Law ofStability of Statistical Frequencies – a name suggested by Keynes’.3

Gillies neemt dus de terminologie van Keynes over. Ten slotte wijst Gillies erop dat de Law of Stability of Statistical Frequencies zich in de praktijk op een aantal terreinen bewezen heeft:

‘According to Von Mises, the Law of Stability of Statistical Frequencies is confirmed by observations in all the games of chance (dice, roulette, lotteries, etc.), by insurance companies, in biological statistics, and so on. Of course, the confirming data were not in general obtained as a result of a deliberate attempt to check the law, but were collected in the course of pursuing other activities.’4

Verzekeringsmaatschappijen gebruiken inderdaad de wet van de grote getallen bij de risicoanalyse en prijsstelling van hun producten. Meer in het algemeen zal in situaties waarin gebruik wordt gemaakt van zogenoemde ‘ervaringscijfers’ een frequentistische analyse van het betreffende fenomeen worden gemaakt. In fiscale rechtsvindingsvraagstukken wordt hier echter zelden gebruik van gemaakt. Dat neemt niet weg dat met name bij fiscale winstberekening de frequentistische waarschijnlijkheid zo nu en dan in beeld kan komen:

Voorbeeld

Een ondernemer wenst de post ‘vorderingen’ af te waarderen (soms wordt – ten onrechte – ook wel gesproken over het vormen van een voorziening voor dubieuze debiteuren). Uit ervaring weet hij dat 10% van zijn vorderingen oninbaar is. Hij neemt daarom het standpunt in dat de post vorderingen tot 90% kan worden afgewaardeerd en dat het verschil van 10% ten laste van de winst kan worden gebracht.

De ‘ervaring’ dat 10% van de vorderingen oninbaar is, betekent in feite niets anders dan dat van alle vorderingen die de ondernemer tot nu toe had, 10% niet betaald werd. Stel bijvoorbeeld dat de ondernemer tot nu toe n facturen heeft uitgereikt aan afnemers, dan is 0,1n facturen tot nu toe onbetaald gebleven. Naarmate n groter is, is de ervaring waar de ondernemer zich op beroept betrouwbaarder. Als in die n gevallen m facturen onbetaald zijn gebleven, dan is de verhouding m/n de frequentistische kans dat een factuur onbetaald blijft.

In het bovenstaande voorbeeld speelt de frequentistische interpretatie een rol. Hierbij moet wel een tweetal opmerkingen worden gemaakt. In de eerste plaats wordt hier geen frequentistische analyse gemaakt van de waarschijnlijkheid van de mogelijke uitkomsten van een rechtsvindingsvraagstuk, maar wordt een frequentistische analyse aangehaald ter onderbouwing van een mogelijke uitkomst van een rechtsvindingsvraagstuk. Eén van de mogelijke uitkomsten van het onderhavige rechtsvindingsvraagstuk (welke ook door de ondernemer in het voorbeeld wordt ingenomen) is dat 10% van het totaalbedrag van de vorderingen ten laste van de winst kan worden afgewaardeerd, en dat wordt met statistische gegevens onderbouwd. De waarschijnlijkheid van het ingenomen standpunt dat een afwaarderingsverlies van 10% kan worden genomen, kan een heel andere waarde hebben, ergens in het interval [0, 1].

De tweede opmerking is dat in het gros van de fiscale rechtsvindingsvraagstukken geen kwantitatieve toets plaatsvindt die met een frequentistische analyse kan worden benaderd. Kerkmeester refereert in zijn artikel over het gebruik van statistiek in het strafrecht ook aan de frequentistische interpretatie. Hij komt tot eenzelfde conclusie. Volgens Kerkmeester blijkt

‘toepassing in het bewijsrecht specifieke moeilijkheden op te leveren. Frequentistische kansen kunnen worden vastgelegd met behulp van empirisch onderzoek. Het is echter niet altijd mogelijk om dergelijk onderzoek te verrichten. Bovendien is vaak het aantal “pogingen” te klein om op grond hiervan een betrouwbare kans vast te stellen. Een veelgehoord argument, dat dit laatste argument in extremis doortrekt, is dat het in het recht om unieke gevallen gaat, zodat er geen frequentistische kans kan worden berekend anders dan 0 of 1.’5

Eveneens in de sfeer van het strafrecht komt Coster van Voorhout tot eenzelfde conclusie over de onbruikbaarheid van de frequentistische analyse van waarschijnlijkheid:

‘Wat doet de niet-statisticus, bijvoorbeeld de rechter, nu met het begrip kans, de kans dat iets gaat gebeuren of gebeurd is? Deze gaat wellicht uit van de intuïtief bepaalde relatieve frequentie op lange termijn. Met ‘relatieve frequentie’ wordt hier dan bedoeld een aantal waarnemingen van een kenmerk, afgezet tegen het totaal aantal waarnemingen. Voor de rechter echter lijkt zo’n methode niet altijd werkbaar, immers de herhaling al dan niet over een langere termijn van een gebeurtenis (strafbare gedraging) waaraan een gevolg kleeft, is een dikwijls onmogelijk te stellen eis (ethisch en rechtens gezien) aan het door hem eventueel bewezen te achten feit. Bijvoorbeeld een persoon die wordt beschuldigd van de vergiftiging van zijn partner, met de dood tot gevolg. (…) Vandaar dat de rechter in enige gevallen of op een kans als subjectieve mening af zal moeten gaan, dan wel zich zal moeten conformeren aan de door de statisticus voorgelegde, op grond van de kansberekening vastgestelde, kans van een gebeurtenis.’6

Al met al is de frequentistische interpretatie van de waarschijnlijkheid niet de meest voor de hand liggende kandidaat wanneer we de waarschijnlijkheid van de mogelijke uitkomsten van een onzeker rechtsvindingsvraagstuk vast willen stellen.

Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.