Waarschijnlijkheid van fiscale rechtsgevolgen (FM nr. 145) 2016/7.2:7.2 Formule van Bayes

Waarschijnlijkheid van fiscale rechtsgevolgen (FM nr. 145) 2016/7.2

7.2 Formule van Bayes

Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.

De kern van de Bayesiaanse methode is een conditioneel geloof in de waarschijnlijkheid van een bepaalde stelling H, gegeven een zeker bewijs E. Dit wordt weergegeven door de waarschijnlijkheid P(H | E).

Stel dat een fiscalist aan een bepaald rechtsgevolg H aanvankelijk de waarschijnlijkheid P(H) toekent. Gedurende het rechtsvindingsproces krijgt de fiscalist echter meer kennis en inzicht in het betreffende vraagstuk waardoor zijn hoeveelheid bewijs E toeneemt. Door dit bewijs zal hij zijn inschatting van de waarschijnlijkheid van het rechtsgevolg H bijstellen. De nieuwe waarschijnlijkheid wordt dan P(H | E), ofwel de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van H, gegeven bewijs E. P(H | E) is de waarschijnlijkheid dat het rechtsgevolg juist is (uiteindelijk dus het enige rechtsgevolg in het specifieke rechtsvindingsvraagstuk), gegeven de juistheid van het bewijs E.

Dit brengt ons bij de formule van Bayes:1

P (H|E)=P(E|H) XP(H) / P(E)

Deze formule laat zien hoe de waarschijnlijkheid moet worden bijgesteld aan de hand van nieuw bewijs. Het uitgangspunt van deze formule is de stelling H. De vraag is vervolgens wat de waarschijnlijkheid is van deze stelling, gegeven een bepaald bewijs E. We hebben dan twee situaties, namelijk een aanvangssituatie met een waarschijnlijkheid P(H) van de stelling H voordat het bewijs E in aanmerking wordt genomen en een vervolgsituatie met een waarschijnlijkheidP(H | E) van de stelling H nadat het bewijs E in aanmerking wordt

genomen. Als we de aanvangssituatie ‘situatie 1’ noemen en de vervolgsituatie ‘situatie 2’, dan krijgen we het volgende beeld:

id-13cb8139-cd09-4098-8c44-3ff44a07eb5d

Het effect van beschikbaar komend bewijs is eenvoudig en nog zonder toepassing van de formule van Bayes inzichtelijk te maken met een voorbeeld:

Voorbeeld

Een BV heeft kapitaal verstrekt aan een buitenlandse dochtermaatschappij middels storting op aandelen. Wanneer de buitenlandse civielrechtelijke gevolgen van de kapitaalverstrekking naast het Nederlandse civiele recht worden gehouden, lijkt het erop dat de kapitaalverstrekking naast kenmerken van een echte kapitaalverstrekking ook kenmerken van een lening heeft. De vraag is of de ontvangen vergoeding in de winst van de BV moet worden opgenomen of onder de deelnemingsvrijstelling valt.

Laten we die rechtsgevolgen respectievelijk H1 en H2 noemen. Aanvankelijk schat de adviseur de kans op rechtsgevolg H1 op p1 en rechtsgevolg H2 op q1. In deze aanvangssituatie geldt dus dat P(H1) = p1 en P(H2) = q1. Omdat er maar twee mogelijke rechtsgevolgen zijn geldt uiteraard ook dat p1 + q1 = 1.

Gedurende het rechtsvindingsproces stuit de adviseur op een arrest van de Hoge Raad waarin een vergelijkbare situatie aan de orde is geweest. (Zie in dit geval HR 7 februari 2014, nr. 12/03540, BNB 2014/79 inzake de kwalificatie van Australische Redeemable Preference Shares.) Dit arrest vormt bewijs E1 welke in dit geval de waarschijnlijkheid van rechtsgevolg H2 vergroot. We komen dan in een situatie waarin de kansen anders liggen: P(H1 | E1) = p2 en P(H2 | E1) = q2. Ook hier geldt dat p2 + q2 = 1. Omdat bewijs E1 de waarschijnlijkheid van rechtsgevolg 2 vergroot, kunnen we in ieder geval concluderen dat p2 < p1 en q2 > q1, ofwel: P(H1 | E1) < P(H1) en P(H2 | E1) > P(H2).

De adviseur is nog niet helemaal overtuigd en zoekt verder. Hij maakt een analyse aan de hand van het civiele recht en komt vervolgens met bewijs E2. Dit bewijs E2 doet de kansen keren. Nu geldt: P(H1) | E1 ⋃ E2) > P(H1) en P(H2 | E1 ⋃ E2) < P(H2).

De vraag is dan wat nu precies het effect is van een bepaald bewijs op de waarschijnlijkheid van de mogelijke rechtsgevolgen van een specifiek rechtsvindingsvraagstuk.

In het bovenstaande voorbeeld bestaat de uitkomstenruimte uit twee mogelijke uitkomsten: Σ = {H1, H2}. Nog voordat de adviseur zich verdiept in de parlementaire geschiedenis, jurisprudentie en literatuur, heeft hij waarschijnlijk al een idee van de waarschijnlijkheid van de mogelijke uitkomsten: P(H1) en P(H2). Aan de hand van de formule van Bayes kan die waarschijnlijkheid vervolgens worden bijgesteld aan de hand van het later gevonden bewijs.

Als we naar de formule van Bayes kijken, dan zien we dat die is opgebouwd uit een aantal elementen. Deze worden hieronder één voor één toegelicht. Situatie 1 is daarbij dan weer de aanvangssituatie en situatie 2 de vervolgsituatie nadat bewijs E beschikbaar komt.

P(H | E)

Dit is de a posteriori waarschijnlijkheid (posterior probability) dat de stelling H juist is, gegeven de aanvankelijke waarschijnlijkheid van de stelling H in situatie 1 en het later toegevoegde bewijs E. Met andere woorden: P(H | E) is de waarschijnlijkheid in situatie 2. De stelling van Bayes geeft in feite een formule voor de sprong van de waarschijnlijkheid in situatie 1 naar de waarschijnlijkheid in situatie 2. Deze waarschijnlijkheid is afhankelijk van de elementen rechts van het isgelijkteken in de formule, te weten P(H), P(E | H) en P(E).

P(H)

Dit is de voorafgaande of a priori waarschijnlijkheid (prior probability) van stelling H, te weten de waarschijnlijkheid van H vóórdat het bewijs E in aanmerking wordt genomen. Met andere woorden: P(H) is de waarschijnlijkheid in situatie 1.

P(E | H)

Dit is de voorwaardelijke waarschijnlijkheid (conditional probability of likelihood) dat, gegeven stelling H, het bewijs E sowieso in aanmerking wordt genomen. Dit is een lastig element in de formule van Bayes. Maar stel dat H een zeer onwaarschijnlijke uitkomst zou zijn van een fiscaal rechtsvindingsvraagstuk en E een bewijs dat deze zeer onwaarschijnlijke uitkomst onderbouwt. Omdat de betreffende uitkomst zeer onwaarschijnlijk is, is de kans dat het onderbouwende bewijs tijdens het rechtsvindingstraject in aanmerking wordt genomen ook onwaarschijnlijk. Daarmee is de waarschijnlijkheid P(E | H) dan ook laag.

P(E)

Dit is de a priori waarschijnlijkheid (marginal probability) van bewijs E.

Met de formule van Bayes, welke zoals gezegd is opgebouwd uit de bovenstaande elementen, kunnen we de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van een bepaalde stelling berekenen.

Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.