Einde inhoudsopgave
Waarschijnlijkheid van fiscale rechtsgevolgen (FM nr. 145) 2016/7.4.1
7.4.1 Onafhankelijk van de formule van Bayes
C. Bruijsten, datum 04-05-2016
- Datum
04-05-2016
- Auteur
C. Bruijsten
- JCDI
JCDI:ADS620527:1
- Vakgebied(en)
Belastingrecht algemeen / Algemeen
Voetnoten
Voetnoten
D.H. Mellor, Probability, A Philosophical Introduction, Abingdon, Oxon: Routledge 2005, p. 101-102.
De logica is inderdaad een krachtig hulpmiddel. Een geaxiomatiseerd logisch systeem van de wiskunde is echter niet krachtig genoeg om alle ware wiskundige stellingen af te leiden uit de axioma’s. Op grond van de onvolledigheidsstelling van Gödel zijn er namelijk ware wiskundige stellingen die niet kunnen worden afgeleid (K. Gödel, Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, Monatshefte für die Mathematik und Physik, nr. 38, 1931, p. 173-198, herdrukt in o.a. J. van Heijenoort, From Frege to Gödel, Cambridge, London: Harvard University Press, 1967, p. 596-616).
De consensus is overigens relatief en kan in de loop der tijd wijzigen. Euclides, bijvoorbeeld, introduceerde ongeveer 300 voor Christus vijf axioma’s (postulaten) voor zijn meetkunde (zie D. Densmore (ed.), Euclid’s Elements, Santa Fe: Green Lion Press, 2007, p. 2). Het vijfde axioma (het parallellenpostulaat) werd niet door iedere wiskundige geaccepteerd en in de 19de eeuw – ruim twee millennia nadat de axioma’s van Euclides het levenslicht zagen – formuleerden Lobachevsky, Bolyai en later Riemann een niet-Euclidische meetkunde waarin het parallellenpostulaat was weggelaten (zie J.J. Gray, Euclidean and non-Euclidean geometry, in: I. Grattan-Guinness (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, Baltimore: The Johns Hopkins University Press 1994). Deze meetkunde werd later door Einstein gebruikt voor zijn algemene relativiteitstheorie.
De gedachte achter de stelling van Bayes is dat we van de a priori waarschijnlijkheid (situatie 1) aan de hand van bewijs tot een a posteriori waarschijnlijkheid (situatie 2) komen. Voordat we ons de vraag stellen hoe we in een specifiek fiscaal rechtsvindingsvraagstuk aan de a priori waarschijnlijkheid van de mogelijke uitkomsten komen, is het goed om ons eerst te realiseren dat de stelling van Bayes ons daarbij niet kan helpen. De a priori waarschijnlijkheid is slechts input waarmee aan de hand van de stelling van Bayes verder kan worden gerekend.
Mellor maakt wat dat betreft een interessante vergelijking met de logische afleiding van een stelling uit premissen:
‘For just as a full believe in a premise is an input to a process of inference, whose output is a full belief in its conclusion, so a Bayesian’s prior credence is an input to a process of conditionalising, whose output is a posterior credence. And just as a chain of inferences, in order to justify its output, needs input beliefs that are justified in some other way, so conditionalising, to justify its output, needs input credences that are justified in some other way. So if it is no objection to theories of inference that they leave it to others to say when and how this need can be met, the same division of labour can be no objection to Bayesianism, especially as we know that in both cases the need can be met in the end by perception.’1
De logica kan ons vertellen of een afleiding van een bepaalde stelling juist is, en of die stelling waar is gegeven de waarheid van de voorafgaande premissen. De logica zegt echter niets over de waarheid van die voorafgaande premissen. Logica is daarmee een krachtig hulpmiddel om wiskundige stellingen af te leiden binnen bepaalde geaxiomatiseerde deelgebieden van de wiskunde.2 Het uitgangspunt daarbij is dan wel dat de axioma’s van waaruit geredeneerd wordt (bijvoorbeeld Euclides’ axioma’s van de meetkunde of Peano’s axioma’s van de rekenkunde) waar zijn. De logica zelf zegt echter niets over de waarheid van die axioma’s. In de wiskunde, wanneer men logica gebruikt om nieuwe stellingen af te leiden, berust de waarheid van de gebruikte axioma’s op een consensus onder de wiskundigen.3
In gelijke zin zegt de stelling van Bayes niets over de waarschijnlijkheid van de a priori hypothese. Aan de hand van de stelling van Bayes kan worden achterhaald wat de a posteriori waarschijnlijkheid is van een bepaalde stelling, gegeven de a priori waarschijnlijkheid van die stelling. Maar die a priori waarschijnlijkheid zullen we dus ergens anders moeten vinden.