III.1 Introductie tot de verzamelingenleer

De basis van mijn model van fiscale rechtsvinding (zie paragraaf 4.6) wordt gevormd door verzamelingen. Hieronder volgt een korte uitleg van de basisbegrippen van de verzamelingenleer.

Het kernbegrip is de verzameling. Een verzameling is een aantal bijeengebrachte objecten. Die objecten worden aangeduid met de term elementen. Denk bijvoorbeeld aan de verzameling A van alle natuurlijke gevallen van 1 tot en met 10: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Het object {1} is dan een element van A. We noteren dat als volgt: {1} ∈ A. Het object {12} is geen element van A. We noteren dat als volgt: {12} ∈/ A. In gelijke zin kunnen we ons een verzameling voorstellen van alle wetsartikelen in de Wet IB 2001. Eén van de wetsartikelen in de Wet IB 2001 is artikel 3.54 (herinvesteringsreserve). Dat wetsartikel is een element van de verzameling van alle wetsartikelen in de Wet IB 2001.

Als alle elementen van een verzameling A ook elementen zijn van een verzameling B, dan is A een deelverzameling van B. We noteren dat als A ⊆ B. Daarbij is het mogelijk dat alle elementen van A ook in B zitten en dat A en B aan elkaar gelijk zijn. We spreken van een echte deelverzameling (proper subset) als alle elementen van A in B zitten, maar A en B niet aan elkaar gelijk zijn. Dit noteren we als volgt: A ⊂ B.

A is dan een deelverzameling van B, maar B is geen deelverzameling van A. Stel bijvoorbeeld dat A = {1, 2, 3} en B = {1, 2, 3, 4, 5}. In dat geval geldt dat A ⊂ B.

In gelijke zin vormen de wetsartikelen in paragraaf 3.2.2 van de Wet IB 2001 (winst uit een onderneming) een echte deelverzameling van de verzameling van alle wetsartikelen in de Wet IB 2001.

De lege verzameling is een verzameling die geen elementen bevat. Dit wordt aangeduid met Ø.

De machtsverzameling M van een verzameling A (ook wel aangeduid als 2^A) is de verzameling van alle mogelijk deelverzamelingen van de verzameling A, inclusief de lege verzameling en de verzameling A zelf (die in feite ook deelverzamelingen zijn van de verzameling A). Stel bijvoorbeeld dat A = {1, 2, 3}. De machtsverzameling is dan als volgt:

Een verzameling is eindig, als de verzameling een eind aantal elementen heeft. De verzameling A = {1, 2, 3, 4, 5} heeft bijvoorbeeld een eindig aantal elementen. Hetzelfde geldt voor de verzameling van alle wetsartikelen van de Wet IB 2001 en de verzameling van alle arresten die de Hoge Raad tot dit moment heeft gewezen. Technisch gezien is een verzameling eindig als er een een-op-een relatie (bijectie) bestaat met een verzameling {1, 2, …, n} van natuurlijke getallen. Een verzameling die niet eindig is, is oneindig.

De vereniging van twee verzamelingen A en B is de verzamelingen van elementen die tot A of tot B behoren, of tot beide. Dit noteren we als volgt: A ⋃ B.

De doorsnede van twee verzamelingen A en B is de verzameling van elementen die zowel tot A als tot B behoren. Dit noteren we als volgt: A ⋂ B.

Het verschil tussen de verzamelingen A en B is de verzameling van elementen van A die niet tot B behoren. Dit noteren we als volgt: A \ B.

Het cartesisch product van de verzamelingen A en B is de verzameling van paren (a, b) waarbij geldt dat a ∈ A en b ∈ B.

Stel dat A en B verzamelingen zijn. De relatie R is een tweeplaatsige relatie tussen elementen van A en elementen van B indien R is een deelverzameling van het cartesisch product van A en B, dat wil zeggen R ⊆ A × B. Een relatie R tussen A en B bestaat daarbij uit de geordende paren (a, b) ∈ R zodanig dat a ∈ A en b ∈ B. Niet alle relaties in het product A × B zijn ‘waar’. R definieert juist welk relaties waar zijn.

Een relatie R heeft een domein en een bereik. Het domein van R bestaat uit de verzameling elementen van A die tot een zeker element van B in relatie staan:

Het is niet noodzakelijk dat elk element van A gerelateerd is aan één of meerdere elementen van B. Het bereik van R bestaat uit de verzameling elementen van B waartoe een zeker element van A in de relatie R staat:

Het bovenstaande is een binaire relatie. Er zijn echter ook n-aire relaties mogelijk:

Een functie ƒ van A naar B is een relatie tussen A en B zodanig dat voor elke a ∈ A er één (en niet meer dan één) gerelateerd element b ∈ B bestaat. A is dan het domein van de functie en B het bereik van de functie.