IV.1 Rekenen met waarschijnlijkheden

De drie axioma’s van Kolmogorov (zie paragraaf 6.3) vormen de grondslag van de waarschijnlijkheidsleer en constitueren als zodanig, tezamen met de vereniging en het complement, een abstract formeel (mathematisch) systeem van waarschijnlijkheid. Dit is bovendien een deductief systeem waarbinnen nieuwe mathematische stellingen kunnen worden afgeleid. Deze afgeleide stellingen zijn geldige stellingen van de waarschijnlijkheidsleer en kunnen worden gebruikt bij het oplossen van vraagstukken waarbij waarschijnlijkheid een rol speelt, zoals de waarschijnlijkheid van de mogelijke uitkomsten van een onzeker fiscaal rechtsvindingsvraagstuk.

Ter illustratie volgt hieronder een drietal eenvoudige stellingen die kunnen worden afgeleid.1 Ook zal ik kort laten zien hoe die stellingen kunnen worden gebruikt bij het berekenen van de waarschijnlijkheid van mogelijke uitkomsten. De eerste stelling luidt als volgt:

Stel dat a een voor de belastingplichtige gunstige uitkomst is en dat we hebben vastgesteld dat P(a) = 0,75. Aan de hand van deze stelling kunnen we nu de kans P(¬a) berekenen dat uitkomst a zich niet voordoet:

De tweede stelling die ik hier kort bespreek, luidt als volgt:

P(A ⋃ B) = P(A) + P(B), voor onafhankelijke gebeurtenissen A en B

Stel dat a en b voor de belastingplichtige gunstige uitkomsten zijn en dat we hebben vastgesteld dat P(a) = 0,1 en P(b) = 0,3. Aan de hand van deze stelling kunnen we nu de kans P(a ⋃ b) berekenen dat één van de uitkomsten a en b zich voordoet:

Een dergelijk berekening kan een zinvolle exercitie zijn. Stel bijvoorbeeld dat twee of meer van de mogelijke rechtsgevolgen een fiscaal gunstige uitkomst hebben, dan kan op deze wijze een inschatting worden gemaakt van de kans op fiscaal succes: simpelweg een kwestie van de kansen van de fiscaal voordelige rechtsgevolgen bij elkaar optellen.

De derde stelling ten slotte is de productregel. Deze luidt als volgt:

P(A ⋂ B) = P(A) × P(B), voor onafhankelijke gebeurtenissen A en B

Stel dat a een bepaalde interpretatie van rechtsnorm A is en b een bepaalde interpretatie van rechtsnorm B. Bij een voor de belastingplichtige gunstige uitkomst van een rechtsvindingsvraagstuk doet hij zowel een beroep op rechtsnorm A als op rechtsnorm B, waarbij hij de interpretaties a respectievelijk b nodig heeft voor die uitkomst. (In de eerste stap gebruikt de belastingplichtige de geïnterpreteerde rechtsnorbm a en de daarmee afgeleide vervolgstelling combineert hij vervolgens met de geïnterpreteerde rechtsnorm b, waarna het gewenste rechtsgevolg wordt afgeleid.) Stel bovendien dat we hebben vastgesteld dat P(a) = 0,8 en P(b) = 0,6 Aan de hand van deze stelling kunnen we nu de succeskans P(a ⋂ b) berekenen dat het beoogde rechtsgevolg:

Een belangrijke stelling van de waarschijnlijkheidsleer, is die van de voorwaardelijke kans. De voorwaardelijke kans P(A | B) is de kans van een gebeurtenis A, gegeven een andere gebeurtenis B. De voorwaardelijke kans kan worden berekend aan de hand van de volgende formule (waarbij P(B) > 0):

De voorwaardelijke kans P(A | B) levert een kans groter dan 0 op indien gebeurtenis B heeft plaatsgevonden. Als B een voorwaarde is die niet vervuld wordt, dan geldt P(A | B) = 0. Om het concept van de voorwaardelijke kans inzichtelijk te maken, volgt hieronder eerst een voorbeeld met twee dobbelstenen:

In dit voorbeeld waarbij wordt geworpen met dobbelstenen hebben we berekend wat de kans is van een bepaalde gebeurtenis, gegeven een andere gebeurtenis. Bij het werpen van dobbelstenen is het niet moeilijk om hier een beeld bij te vormen. Het wordt lastiger als we een beeld proberen te vormen bij een voorwaardelijke kans als we de waarschijnlijkheid van een bepaalde uitkomst van een fiscaal rechtsvindingsvraagstuk vast willen stellen.